DOOR WIEBE FRAANJE

We blijven voor de nieuwe opgave even bij de wiskunde, omdat dat zo’n leuk vak is. Hebben jullie wel eens van het torusschaakbord gehoord?

Een torus is een driedimensionaal wiskundig lichaam, plat rond met een gat erin, zeg maar een donut of de binnenband van een tractor waarmee je in het zwembad zou kunnen spelen als het niet gesloten was.

Stel je nu een schaakbord op zo’n torus voor. Het is een bord zonder randen. Stukken worden niet gehinderd door de vier uiteinden van het bord. Een paard kan van g1 bijvoorbeeld rechtsaf springen en komt dan op a2 terecht. Daar valt het niet alleen de velden c1, c3 en b4 aan, maar ook de velden g1, g3 en h4, én – let op – de velden b8 en h8. Een toren op e4 zal oneindig doorschuiven op de e-lijn of de vierde rij, als je hem niet op een veld stilzet. Een dame die op c1 staat, dekt ook velden als b8 en d8 en ga zo maar door.

De wiskundige en natuurkundige György Pólya (1887-1985) heeft zich diepzinnig met het torusschaakbord bezig gehouden.

Hij dokterde ook een methode uit voor wiskunde-onderwijs. Elk wiskundig probleem moest in vier systematische stappen opgelost worden:

  1. Begrijp het probleem.
  2. Bedenk een plan voor de oplossing.
  3. Voer het plan uit.
  4. Evalueer je werk en kijk hoe je het voortaan beter kunt doen.

Bij ons stervelingen loopt het vaak al spaak bij stap 1. Die stap was voor hem geen probleem. Hij bewees bijvoorbeeld een wiskundige vergelijking over niet-principale Dirichlet-karakters modulo q. Stap 2 is bij mij nu al heel ver weg.

Voordat de moed je in de schoenen zakt, hier de opgave. Wit: Ke2, Df5, Pb5. Zwart: Ke8. Wit geeft mat in vier. Vergeet niet dat we op een torusschaakbord spelen!

Mat in vier. Torusschaak!

Wie dit soort opgaven leuk vindt kan zijn hart ophalen met het boek Wiskunde op een schaakbord van John J. Watkins. Daar komt ook deze opgave uit.

Afstand houden!

Dan de oplossing van de vorige keer. We hadden een schaakbord waarvan alle velden gedekt werden door ten minste één van de vijf dames op de velden d2, d3, d4, d5 en d8. Nu moesten we vier dames één voor één verplaatsen (het hoefden niet per se legale damezetten te zijn), zodat na elke zet nog steeds alle velden gedekt waren, én na de vierde zet geen enkele dame meer aangevallen of verdedigd werd door een andere dame. Afstand houden dus.

Puzzelfanaat Eelke Heidinga kwam als eerste met de oplossing. Hij ging aan de slag met de tip die ik gegeven had. Als je alle velden die maar door één dame gedekt worden afdekt met rode fiches uit een vlooienspel krijg je meer overzicht. Eelke ontdekte de rest van de truc, die ik er natuurlijk niet bij had gegeven. ,,Je moet niet alleen de velden markeren die door één dame gedekt zijn, maar ook welke dame welke velden maar eenmaal bestrijkt.”

Je moet dus met blauwe fiches steeds per dame kijken welke velden zij als enige onder vuur neemt, of met fiches van vijf verschillende kleuren werken.

De clubdiagrammenmaker heeft geen beschikking over damschijven, schijfjes uit de steel van een pikhouweel of fiches van het vlooienspel. Alleen skaakstikken. In dit diagram staat er pionnen op alle velden die maar éénmaal door een dame bestreken worden. En de witte pionnen zijn de velden die maar éénmaal door Dd2 bestreken worden. Als je die dame naar h1 verplaatst blijft zij de velden met de vier witte pionnen bestrijken.

Dolf Wissmann, ook al zo’n enthousiast schaakpuzzelaar en kritisch meedenker, constateerde dat er een omissie in de opgave stond. Want een stuk dekt nooit het veld waar het zelf op staat. ,,Alle 64 velden gedekt houden is met een corona-opstelling niet te combineren”, aldus Dolf, die daar volkomen gelijk in had.

Na heel wat heen-en-weer gesoebat en gepuzzel kwamen we tot de conclusie dat ook na de eerste drie zetten de eis van volledige dekking van 64 velden moet worden losgelaten. Ga maar na. Als je met de kleurcodes werkt, kom je snel tot de conclusie dat er maar één beginzet is: 1. Dd2-h1. Nu zijn nog 64 velden gedekt, maar met de kleurcodes is nu te zien dat er maar één dame gebruikt kan worden voor de tweede zet, namelijk die op d5.

Welnu, zij dekt in haar eentje de velden a2, e6, f7 en h1. Alleen veld d5 houdt deze vier velden onder schot, want de velden h9 en -a1 tellen niet mee. Je moet dus h1 opgeven bij je tweede zet. De enig juiste tweede zet is: 2. Dd5-a2 (waarmee ook veld a2 ongedekt is).

Dan weten we dus dat velden waar een dame op staat niet gedekt hoeft te worden door een van de andere dames, en komen we vrij eenvoudig tot de resterende zetten 3. Dd3-g5 4. Dd8-b8. Dolf wees erop dat 4. Dd8-c8 ook volstaat.

Mea culpa dus: in de slotstelling volstaan 59 gedekte velden en in de eerste drie zetten hoeven het er ook niet precies 64 te zijn. De opgave had moeten luiden: Verplaats één voor één vier dames zodat na elke zet nog steeds alle velden gedekt of bezet zijn, en na de vierde zet geen enkele dame meer aangevallen wordt door een andere dame.

Jullie hebben het gemerkt: ik krijg steeds maar twee oplossingen binnen. Van Eelke en van Dolf. Zij zijn net als ik usual suspect als het gaat om puzzelen, maar ik hoop dat er meer Philidorianen zijn die deze rubriek leuk vinden. Iedereen mag oplossingen en/of aanmerkingen inzenden. Of misschien heb je zelf wel een leuk schaakraadsel.